|
nicoletast89
Administrator
Inregistrat: acum 20 ani
Postari: 104
|
|
1. MULŢIMI
O mulţime este o colecţie de obiecte (numite elementele mulţimii) de natură oarecare, bine determinate şi bine distincte.
A, B, C,… notaţii pentru mulţimi;
a, b, c, … x, y, z, … notaţii pentru elementele mulţimilor;
xA “x aparţine mulţimii Aâ€Â?;
xA “x nu aparţine mulţimii Aâ€Â?;
pot fi finite (ex. 6,7,8,9,10) sau infinite (1,2,3,4,5,11,12,13,14).
Moduri de definire:
a) sintetic = numind individual elementele sale - ex.: {x, y, z}, A={0, 1, 3, 5, 7};
b) analitic = specificând o proprietate pe care o au elementele sale şi nu o au alte elemente - ex.: A={x| P(x)}- “mulţimea acelor x pentru care are loc P(x)â€Â?;
Exemple:
1. |N = {0, 1, 2, 3, …}- mulţimea numerelor naturale;
2. Z = {…, -3, -2, 0, 1, 2, 3, …}- mulţimea numerelor întregi;
3. |Q ={ |m, nZ; n0}- mulţimea numerelor raţionale;
4. |R |Q – mulţimea numerelor iraţionale;
5. |R = (-,) - mulţimea numerelor reale;
6. - mulţimea vidă;
7. [a,b]={x|R | axb}- interval închis ;
8. [a,b)= {x|R | ax<b}- interval închis la stânga şi deschis la dreapta;
9. (a,b]= {x|R | a<xb}- interval deschis la stânga şi închis la dreapta;
10. (a,b)= {x|R | a<x<b}- interval deschis;
11. [a, )={x|R | ax} - interval închis la stânga şi nemărginit la dreapta;
12. (-,a]= {x|R | xa} - interval nemărginit la stânga şi închis la dreapta;
13. (a,)= {x|R | a<x} - interval deschis la stânga şi nemărginit la dreapta;
14. (-,a)= {x|R | x<a} - interval nemărginit la stânga şi deschis la dreapta.
Mulţimi egale A=B - dacă orice element al lui A aparţine şi lui B şi reciproc.
Proprietăţi:
a) reflexivă A=A;
b) simetrică dacă A=B atunci B=A;
c) tranzitivă dacă A=B şi B=C atunci A=C.
Mulţime simetrică: A|R dacă xA -xA.
Relaţia de incluziune AB – dacă orice element al lui A este şi element al lui B.
AB “A este inclusă în Bâ€Â? sau “B conţine pe Aâ€Â? sau “A este submulţime a lui Bâ€Â? sau “A este o parte a lui Bâ€Â?;
AB “A nu este inclusă în Bâ€Â? - xA astfel încât xB;
P(A)= {X| XA} mulţimea părţilor unei mulţimi A.
Proprietăţi:
a) reflexivă AA;
b) antisimetrică dacă AB şi BA atunci B=A;
c) tranzitivă dacă AB şi BC atunci AC.
Operaţii cu mulţimi:
1) AB={x | xA şi xB}- intersecţia;
AB= , A şi B disjuncte;
2) AB={x | xA sau xB}- reuniunea;
3) CEA={xE | xA, EA}- complementara lui A în raport cu E;
4) A–B={x | xA şi xB}- diferenţa;
5) AB=A-BB-A diferenţa simetrică;
6) AxB={(x,y) | xA şi yB}- produs cartezian;
AxA=A2;
(x,y) – pereche ordonată sau cuplu;
x – prima componentă;
y – a doua componentă.
Proprietăţi:
a ) A(BC)=(AB) C – asociativitatea reuniunii;
b ) A(BC)=(AB)C – asociativitatea intersecţiei;
c ) A(BC)=(AB)C – asociativitatea diferenţei simetrice;
d ) AB=BA – comutativitatea reuniunii;
e ) AB=BA – comutativitatea intersecţiei;
f ) AB=BA – comutativitatea diferenţei simetrice;
g ) AA=A – idempotenţa reuniunii;
h ) AA=A – idempotenţa intersecţiei;
i ) AA=;
j ) AA;
k ) A;
l ) AA;
m ) A(BC)=(AB)(AC) – distributivitatea reuniunii faţă de intersecţie;
n ) A(BC)=(AB)(AC) – distributivitatea intersecţiei faţă de reuniune;
o ) AE, BE CE(AB)=CEACEB – formula lui de Morgan;
p ) AE, BE CE(AB)=CEACEB – formula lui de Morgan;
q ) AE CE(CEA)=A;
r ) A-B=CA(AB);
s ) A-(BC)=(A-B)-C;
t ) A-(BC)=(A-B)(A-C);
u ) (AB)-C=(A-C)(B-C);
v ) (AB)-C=A(B-C)=(A-C)B;
w ) Ax(BC)=(AxB)(AxC);
x ) Ax(BC)=(AxB)(AxC);
y ) Ax(B-C)=AxB-AxC.
|
|
